Question

20．已知函數(shù)f（x）在=R上總有導(dǎo)數(shù)f（x），定義F（x）=e^xf（x），G（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，x∈R（e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若f（x）＞0，且f（x）+f′（x）＜0，x∈R，試分別判斷函數(shù)F（x）和G（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）=x²-3x+3，x∈R
①當(dāng)x∈[-2，t]，（t＞1）時，求函數(shù)F'（x）的最小值；
②當(dāng)函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同時，這樣的區(qū)間稱為保值區(qū)間．設(shè)g（x）=F（x）+（x-2）e^x，問函數(shù)g（x）在（1，+∞）上是否存在保值區(qū)間？若存在，請求出一個保值區(qū)間；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而判斷出F（x）和G（x）的單調(diào)性；
（2）①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值即可；
②假設(shè)函數(shù)g（x）在（1，+∞）上存在保值區(qū)間[a，b]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出矛盾，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）對F（x）=e^xf（x）求導(dǎo)，得F'（x）=e^xf（x）+e^xf'（x）=e^x[f（x）+f'（x）]，
因為f（x）+f'（x）＜0，所以F'（x）＜0，所以F（x）在R上為減函數(shù)．…（2分）
對$G（x）=\frac{f（x）}{e^x}$求導(dǎo)，得$G'（x）=\frac{{f'（x）{e^x}-f（x）{e^x}}}{{{e^{2x}}}}$=$\frac{f'（x）-f（x）}{e^x}$．
因為f（x）＞0，且f（x）+f'（x）＜0，所以f'（x）＜-f（x）＜0，f'（x）-f（x）＜-2f（x）＜0．
所以G'（x）＜0，所以G（x）在R上為減函數(shù)．…（4分）
（2）①F（x）=e^xf（x）=（x²-3x+3）e^x，求導(dǎo)得F'（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x．…（6分）
當(dāng)x變化時，F(xiàn)'（x），F(xiàn)（x）的變化情況如下表：

x	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，t）	t
F'（x）		+	0	-	0	+
F（x）	13e-2	遞增↗	極大值3	遞減↘	極小值e	遞增↗	（t2-3t+3）et

…（8分）
因為$13{e^{-2}}=\frac{13}{e^2}＜\frac{13}{{{{2.5}^2}}}＜\frac{13}{6}＜2.2＜e$，所以函數(shù)F（x）的最小值為13e^-2．…（9分）
②函數(shù)g（x）在（1，+∞）上不存在保值區(qū)間，證明如下：
由題意，g（x）=（x²-3x+3）e^x+（x-2）e^x=（x-1）²e^x．
求導(dǎo)得，g'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x+1）e^x=（x²-1）e^x．…（10分）
假設(shè)函數(shù)g（x）在（1，+∞）上存在保值區(qū)間[a，b]，因為當(dāng)x＞1時，g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
所以$\left\{\begin{array}{l}g（a）=a\\ g（b）=b\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）^2}{e^a}=a\\{（b-1）^2}{e^b}=b\end{array}\right.$，這說明方程（x-1）²e^x=x有兩個大于1的相異實(shí)根．…（11分）
設(shè)φ（x）=（x-1）²e^x-x，（x＞1），求導(dǎo)得，φ'（x）=（x²-1）e^x-1，
設(shè)h（x）=φ'（x）=（x²-1）e^x-1．則h'（x）=（x²+2x-1）e^x．
當(dāng)x＞1時，h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．又h（1）=-1＜0，h（2）=3e²-1＞0．
所以在（1，+∞）上存在唯一的實(shí)數(shù)x₀∈（1，2），使得h（x₀）=0，即φ'（x₀）=0．
當(dāng)x∈（1，x₀）時，φ'（x₀）＜0，φ（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，φ'（x₀）＞0，φ（x）為增函數(shù)．
所以φ（x）在x₀處取的極小值．…（13分）
因為φ（x₀）＜φ（1）=-1＜0，φ（2）=e²-2＞0．
所以φ（x）在區(qū)間（1，+∞）上有且只有一個零點(diǎn)，這與方程（x-1）²e^x=x有兩個大于1的相異實(shí)根矛盾．
所以假設(shè)不成立，所以函數(shù)g（x）在（1，+∞）上不存在保值區(qū)間．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．