Question

在經(jīng)濟學(xué)中,函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).

    某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置,生產(chǎn)x臺(x＞0)的收入函數(shù)為R(x)=3 000x-20x²(單位:元),其成本函數(shù)為C(x)=500x+4 000(單位:元),利潤是收入與成本之差.

(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x).

(2)利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)是否具有相等的最大值?

(3)你認(rèn)為本題中邊際函數(shù)MP(x)取最大值的實際意義是什么?

Answer 1

分析：本題是信息型應(yīng)用題,解決的關(guān)鍵是MP(x)表達(dá)式的確定及其在實際問題中的作用的理解.

解：(1)P(x)=R(x)-C(x)=3 000x-20x²-(500x+4 000)=-20x²+2 500x-4 000(x∈［1,100］,x∈N).

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)²+2 500(x+1)-4 000-(-20x²+2 500x-4 000)=2 480-40x(x∈［1,100］,x∈N).

(2)P(x)=-20(x-)²+74 125,

    當(dāng)x=62或x=63時,P(x)_max=74 120(元).

    因MP(x)=2 480-40x是減函數(shù),所以當(dāng)x=1時MP(x)_max=2 440(元).

    故利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)不具有相等的最大值.

(3)邊際利潤函數(shù)MP(x)當(dāng)x=1時取最大值,說明生產(chǎn)第2臺與第1臺的總利潤差最大,即第二臺報警系統(tǒng)利潤最大.MP(x)=2 480-40x是減函數(shù),說明隨著產(chǎn)量的增加,每臺利潤與前一臺利潤相比在減少.