Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n-n．
（1）證明：{a_n +1}為等比數(shù)列；
（2）證明：$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$＜1；
（3）T_n為數(shù)列{b_n}前n項和，設(shè)b_n =log₂（a_n +1），是否存在正整數(shù)m，k，b${\;}_{k+1}^{2}$=2T_m +19時成立，若存在，求出m，k；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n計算、整理知a_n+1+1=2（a_n+1），進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用等比數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論；
（3）通過a_n+1=2ⁿ可知b_n=n、T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，計算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵S_n=2a_n-n，
∴S_n+1=2a_n+1-（n+1），
∴a_n+1=S_n+1-S_n=[2a_n+1-（n+1）]-（2a_n-n），
整理得：a_n+1+1=2（a_n +1），
又∵a₁=S₁=2a₁-1，即a₁+1=1+1=2，
∴數(shù)列{a_n +1}是以首項、公比均為2的等比數(shù)列；
（2）證明：由（1）可知a_n +1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{（{2}^{n+1}-1）-（{2}^{n}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$
＜1；
（3）結(jié)論：正整數(shù)m、k滿足題設(shè)條件．
理由如下：
∵a_n+1=2ⁿ，
∴b_n=log₂（a_n+1）=$lo{g}_{2}{2}^{n}$=n，
∴T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
假設(shè)存在正整數(shù)m，k，使得b${\;}_{k+1}^{2}$=2T_m +19成立，
即（k+1）²=2•$\frac{m（m+1）}{2}$+19，
整理得：k（k+2）-m（m+1）=18，
①當(dāng)k=m時，易知k=m=18；
②當(dāng)k≠m時，解得k=4、m=2或k=6、m=5；
綜上所述：正整數(shù)m、k滿足題設(shè)條件．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．