Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-1$，若方程f（1+x²）-g（x）=k有三個(gè)根，求滿足條件的實(shí)數(shù)k的取值是1．

Answer 1

分析 方程f（1+x²）-g（x）=k可化為方程ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$（1+x²）=k-$\frac{3}{2}$；從而由已知可得x=0是方程f（1+x²）-g（x）=k的根，從而解得．

解答 解：∵f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-1$，
∴方程f（1+x²）-g（x）=k可化為
方程ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$（1+x²）=k-$\frac{3}{2}$；
∵函數(shù)h（x）=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$（1+x²）是偶函數(shù)，
又∵方程f（1+x²）-g（x）=k有三個(gè)根，
∴x=0是方程f（1+x²）-g（x）=k的根，
∴l(xiāng)n1-$\frac{1}{2}$=k-$\frac{3}{2}$，
故k=1；
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．