Question

已知直線l：2mx-y-8m-3=0和圓C：x²+y²-6x+12y+20=0．
（1）m∈R時(shí)，證明l與C總相交；　
（2）m取何值時(shí)，l被C截得弦長(zhǎng)最短，求此弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）將直線l變形后，得出直線l恒過(guò)A（4，-3），然后將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C的坐標(biāo)及半徑r，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)A到圓心C的距離d，根據(jù)d小于r得到A點(diǎn)在圓C內(nèi)，進(jìn)而確定出直線l與圓C總相交；
（2）l被C截得弦長(zhǎng)最短時(shí)，A為弦的中點(diǎn)，直線CA與直線l垂直，由A和C的坐標(biāo)求出直線AC的斜率，利用兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系求出直線l的斜率，根據(jù)直線l的方程即可求出m的值，再由弦心距d=|AC|及半徑r，利用垂徑定理及勾股定理即可求出直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)．

解答：解：（1）將直線l變形得：2m（x-4）+（y+3）=0，
可得出直線l恒過(guò)A（4，-3），
將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-3）²+（y+6）²=25，
∴圓心C為（3，-6），半徑r=5，
∵點(diǎn)A到圓心C的距離d=

(4-3)2+(-3+6)2

=

10

＜5=r，
∴點(diǎn)A在圓內(nèi)，
則l與C總相交；
（2）∵直徑AC所在直線方程的斜率為

-3+6

4-3

=3，
∴此時(shí)l的斜率為-

1

3

，
又2mx-y-8m-3=0變形得：y=2mx-8m-3，即斜率為2m，
∴2m=-

1

3

，即m=-

1

6

，
此時(shí)圓心距d=|AC|=

10

，又半徑r=5，
則l被C截得的弦長(zhǎng)為2

r2-d2

=2

15

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：兩點(diǎn)間的距離公式，垂徑定理，勾股定理，兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，恒過(guò)定點(diǎn)的直線方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及點(diǎn)與圓位置關(guān)系，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決問(wèn)題．