Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）•f（y）（x、y∈R）且，
（1）當(dāng)n∈N⁺時(shí)，求f（n）的表達(dá)式；
（2）設(shè)，若S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，求證S_n＜2
（3）設(shè)，T_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，求．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用f（x+y）=f（x）f（y）（x，y∈R）通過(guò)令x=n，y=1，說(shuō)明{f（n）}是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列求出．
（2）利用（1）求出a_n=n•f（n）的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，即可說(shuō)明不等式成立．
（3）利用（1）求出b_n，求出T_n，利用裂項(xiàng)法求出的和即可．
解答：解：（1）∵f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y）（x，y∈R）
令x=n，y=1則f（n+1）=f（n）•f（1）（n∈N⁺）…（2分）
由
∴（n∈N⁺）
∴{f（n）}是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列…（4分）
則…（5分）
（2）由（n∈N⁺）…（6分）
∴，

兩式相減：
=…（9分）
∴…（10分）
∴n∈N⁺時(shí)
∴…（11分）
（3）由于…（12分）
∴…（14分）
則
=
=…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和的求法，考查不等式的證明，裂項(xiàng)法與錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．