Question

2．函數(shù)f（x）具有如下性質(zhì)：對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)x，都有f（x）+f（x-1）=x²．如果f（19）=94，那么f（94）除以1000的余數(shù)是多少？

Answer 1

分析 對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)x，都有f（x）+f（x-1）=x²．kd f（n）+f（n-1）=n²，f（n+1）+f（n）=（n+1）²，于是f（n+1）-f（n-1）=2n+1，利用“累加求和”可得：f（93）-f（19）=4181，再利用f（94）+f（93）=94²，即可得出．

解答 解：∵對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)x，都有f（x）+f（x-1）=x²．
∴f（n）+f（n-1）=n²，
f（n+1）+f（n）=（n+1）²，
∴f（n+1）-f（n-1）=2n+1，
∴f（21）-f（19）=2×20+1，
f（23）-f（21）=2×22+1，
…，
f（93）-f（91）=2×92+1，
∴f（93）-f（19）=2×$\frac{37×（20+92）}{2}$+37=4181，
∴f（93）=94+4181=4275，
∵f（94）+f（93）=94²，
∴f（94）=94²-4275=4561．
∴f（94）除以1000的余數(shù)是561．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“累加求和”、整除運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．