Question

10．為了讓更多的人參與2010年在上海舉辦的“世博會(huì)”，上海某旅游公司面向國內(nèi)外發(fā)行總量為2000萬張的旅游優(yōu)惠卡，其中向境外人士發(fā)行的是世博金卡（簡(jiǎn)稱金卡），向境內(nèi)人士發(fā)行的是世博銀卡（簡(jiǎn)稱銀卡）．現(xiàn)有一個(gè)由36名游客組成的旅游團(tuán)到上海參觀旅游，其中$\frac{3}{4}$是境外游客，其余是境內(nèi)游客．在境外游客中有$\frac{1}{3}$持金卡，在境內(nèi)游客中有$\frac{2}{3}$持銀卡．
（I）在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率；
（Ⅱ）在該團(tuán)的境內(nèi)游客中隨機(jī)采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （I）由題意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡．設(shè)事件B為“采訪該團(tuán)3人中，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人”，事件A₁為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，0人持銀卡”，事件A₂為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，1人持銀卡”．P（B）=P（A₁）+P（A₂），由此能求出在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3人，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率．
（Ⅱ）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：（I）由題意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡．
設(shè)事件B為“采訪該團(tuán)3人中，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人”，
事件A₁為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，0人持銀卡”，
事件A₂為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，1人持銀卡”．
P（B）=P（A₁）+P（A₂）=$\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{21}^{2}}{{C}_{36}^{3}}+\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{6}^{1}{C}_{21}^{1}}{{C}_{36}^{3}}$ …（3分）
=$\frac{9}{34}+\frac{27}{170}$=$\frac{36}{85}$，
所以在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3人，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率是$\frac{36}{85}$．…（6分）
（Ⅱ）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，
P（ ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{21}$，（每個(gè)1分）
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{84}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{5}{21}$

所以Eξ=$0×\frac{1}{84}+1×\frac{3}{14}+2×\frac{15}{28}+3×\frac{5}{21}$=2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一，解題時(shí)要注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．