Question

在△ABC中，已知A=

π

4

，cosB=

4

5

．
（1）求cosC的值；
（2）若BC=10，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由cosB的值，及B的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，所求式子利用內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式化簡后，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，將各自的值代入計算即可求出值；
（2）由sinC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，再由BC，AB的值，利用正弦定理求出AB的長，再利用三角形面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）∵cosB=

4

5

，且B∈（0，π），
∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

，
∴cosC=cos（π-A-B）=cos（

3π

4

-B）=-

2

2

×

4

5

+

2

2

×

3

5

=-

2

10

；
（2）由（1）可得sinC=

1-cos2C

=

1-(- 2 10 )2

=

7 2

10

，
由正弦定理得

BC

sinA

=

AB

sinC

，即

10

2 2

=

AB

7 2 10

，解得：AB=14，
在△ABC中，S_△ABC=

1

2

AB•BC•sinB=

1

2

×14×10×

3

5

=42．

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及正弦定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．