Question

5．已知關于x的不等式lnx-ax+1＞0有且只有一個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是$[\frac{1+ln2}{2}，1）$．

Answer 1

分析 設f（x）=lnx-ax+1，則關于x的不等式lnx-ax+1＞0有且只有一個整數(shù)解，可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＞0}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-a+1＞0}\\{ln2-2a+1≤0}\end{array}\right.$，由此即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：設f（x）=lnx-ax+1，
∵關于x的不等式lnx-ax+1＞0有且只有一個整數(shù)解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＞0}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-a+1＞0}\\{ln2-2a+1≤0}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1+ln2}{2}$≤a＜1，
∴實數(shù)a的取值范圍是$[\frac{1+ln2}{2}，1）$，
故答案為$[\frac{1+ln2}{2}，1）$．

點評 本題考查不等式的解法，考查函數(shù)思想的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確轉化是關鍵．