Question

13．已知函數(shù)f（x）滿足xf′（x）=（x-1）f（x），且f（1）=1，若A為△ABC的最大內(nèi)角，則f[tan（A-$\frac{π}{3}$）]的取值范圍為（-$\frac{\sqrt{3}}{3{e}^{1+\sqrt{3}}}$，0）∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求函數(shù)的極值和單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答 解：∵xf′（x）=（x-1）f（x），
∴f（x）+xf′（x）=xf（x）
設(shè)g（x）=xf（x），
則g′（x）=f（x）+xf′（x），
即g′（x）=g（x），
則g（x）=ce^x，
∵f（1）=1，
∴g（1）=f（1）=1，
即g（1）=ce=1，則c=$\frac{1}{e}$，
則g（x）=xf（x）=$\frac{1}{e}$•e^x，
則f（x）=$\frac{{e}^{x}}{ex}$，（x≠0），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{{e}^{x}ex-{e}^{x}•e}{（ex）^{2}}$=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{e{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得x＞1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得x＜0或0＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值，此時f（1）=$\frac{e}{e}$=1，即當(dāng)x＞0時，f（x）≥1，
當(dāng)x＜0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，且f（x）＜0，
綜上f（x）≥1或f（x）＜0，
∵A為△ABC的最大內(nèi)角，
∴$\frac{π}{3}$≤A＜π，則0≤A-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
則設(shè)m=tan（A-$\frac{π}{3}$），
則m≥0或m＜-$\sqrt{3}$，
∴當(dāng)m≥0時，f（m）≥1，
當(dāng)m＜-$\sqrt{3}$，f（m）∈（f（-$\sqrt{3}$），0），
即f（m）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3{e}^{1+\sqrt{3}}}$，0），
即f[tan（A-$\frac{π}{3}$）]的取值范圍為 的值域?yàn)椋?$\frac{\sqrt{3}}{3{e}^{1+\sqrt{3}}}$，0）∪[1，+∞），
故答案為：（-$\frac{\sqrt{3}}{3{e}^{1+\sqrt{3}}}$，0）∪[1，+∞）

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．