Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，+∞），滿足條件：存在x₁≠x₂，使得f（x₁）≠f（x₂），對(duì)任何x和y，f（x+y）=f（x）•f（y）成立．求：（1）f（0）； （2）對(duì)任意值x，判斷f（x）值的正負(fù)．

Answer 1

分析：（1）由已知中，存在x₁≠x₂，使得f（x₁）≠f（x₂），可知函數(shù)不是常數(shù)函數(shù)，又由對(duì)任何x和y，f（x+y）=f（x）•f（y）成立，令y=0，可得f（0）的值．
（2）根據(jù)對(duì)任何x和y，f（x+y）=f（x）•f（y）成立，令y=x≠0，可得f（2x）=f²（x）≥0，結(jié)合（1）中結(jié)論f（x）≠0，可得f（2x）＞0，即f（x）＞0．

解答：解：（1）∵對(duì)任何x和y，f（x+y）=f（x）•f（y）
令y=0
則f（x）=f（x）•f（0）
又∵存在x₁≠x₂，使得f（x₁）≠f（x₂），
即函數(shù)不為常數(shù)函數(shù)，即f（x）=0不成立
∴f（0）=1．
（2）令y=x≠0，
則f（2x）=f（x）•f（x）=f²（x）≥0
又由（1）中f（x）≠0，
∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，
故對(duì)任意x，f（x）＞0恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)的應(yīng)用，求抽象函數(shù)的函數(shù)值，其中解答中易忽略條件：存在x₁≠x₂，使得f（x₁）≠f（x₂）的意義，而得到錯(cuò)解f（0）=0和f（x）≥0．