Question

（2013•潮州二模）設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右頂點分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=

3

2

．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且|QP|=|PC|．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點C的軌跡E的方程；
（3）設(shè)直線AC（C點不同于A，B）與直線x=2交于點R，D為線段RB的中點，試判斷直線CD與曲線E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意建立關(guān)于a、c的方程組，解出a=2，c=

3

，從而得到b²的值，即可求出橢圓的方程；
（2）設(shè)C（x，y）、P（x₀，y₀），可得x₀=x且y₀=

1

2

y，結(jié)合點P（x₀，y₀）在橢圓上代入化簡得到x²+y²=4，即為動點C的軌跡E的方程；
（3）設(shè)C（m，n）、R（2，t），根據(jù)三點共線得到4n=t（m+2），得R的坐標進而得到D（2，

2n

m+2

）．由CD斜率和點C在圓x²+y²=4上，解出直線CD方程為mx+ny-4=0，最后用點到直線的距離公式即可算出直線CD與圓x²+y²=4相切，即CD與曲線E相切．

解答：解：（1）由題意，可得a=2，e=

c

a

=

3

2

，可得c=

3

，-----------------（2分）
∴b²=a²-c²=1，
因此，橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．-----------------（4分）
（2）設(shè)C（x，y），P（x₀，y₀），由題意得

x=x0 y=2y0

，即

x0=x y0= 1 2 y

，-----------------（6分）
又

x02

4

+y02=1，代入得

x2

4

+(

1

2

y)2=1，即x²+y²=4．
即動點C的軌跡E的方程為x²+y²=4．-----------------（8分）
（3）設(shè)C（m，n），點R的坐標為（2，t），
∵A、C、R三點共線，∴

AC

∥

AR

，
而

AC

=（m+2，n），

AR

=（4，t），則4n=t（m+2），
∴t=

4n

m+2

，可得點R的坐標為（2，

4n

m+2

），點D的坐標為（2，

2n

m+2

），-----------------（10分）
∴直線CD的斜率為k=

n- 2n m+2

m-2

=

mn

m2-4

，
而m²+n²=4，∴-n²=m²-4，代入上式可得k=

mn

-n2

=-

m

n

，-----------------（12分）
∴直線CD的方程為y-n=-

m

n

（x-m），化簡得mx+ny-4=0，
∴圓心O到直線CD的距離d=

4

m2+n2

=

4

4

=2=r，
因此，直線CD與圓O相切，即CD與曲線E相切．-----------------（14分）

點評：本題給出橢圓及其上的動點，求橢圓的方程并用此探索直線CD與曲線E的位置關(guān)系，著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系和軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．