Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x²-x+a（x∈R），其中a為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率，即可求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅲ）極大值小于0或極大值大于0，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x³-x²-x+1，∴f′（x）=3x²-2x-1，f（2）=1，
∴f′（2）=7，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=7x-13；
（Ⅱ）由f′（x）＞0可得x＜-

1

3

或x＞1，f′（x）＜0，可得-

1

3

＜x＜1，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（-∞，-

1

3

），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-

1

3

，1），
∴f（x）的極大值為f（-

1

3

）=

5

27

+a，極小值為f（1）=a-1；
（Ⅲ）f（x）=x³-x²-x+a=（x-1）²（x+1）+a-1．
由此可知x取足夠大的正數(shù)時(shí)f（x）＞0，取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)f（x）＜0，
∴y=f（x）與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)．
∵函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
∴

5

27

+a＜0或a-1＞0，
∴a＜-

5

27

或a＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于中檔題．