【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x),滿足對(duì)任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0.且f(3)=﹣4.
(1)求f(0)的值;
(2)判斷并證明函數(shù)f(x)在R上的奇偶性;
(3)在區(qū)間[﹣9,9]上,求f(x)的最值.
【答案】
(1)解:令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.
(2)解:令y=﹣x,得f(0)=f(x)+f(﹣x),
即對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(x)是奇函數(shù).
(3)解:任取實(shí)數(shù)x1、x2∈[﹣9,9]且x1<x2,這時(shí),x2﹣x1>0,
f(x1)﹣f(x2)=f[(x1﹣x2)+x2]﹣f(x2)=f(x1﹣x2)+f(x2)﹣f(x1)=﹣f(x2﹣x1),
∵x>0時(shí)f(x)<0,∴f(x1)﹣f(x2)>0,
∴f(x)在[﹣9,9]上是減函數(shù).
故f(x)的最大值為f(﹣9),最小值為f(9).
而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=﹣12,f(﹣9)=﹣f(9)=12.
∴f(x)在區(qū)間[﹣9,9]上的最大值為12,最小值為﹣12
【解析】(1)令x=y=0,可得f(0)=0.(2)令y=﹣x,得f(0)=f(x)+f(﹣x),即可得出奇偶性.(3)任取實(shí)數(shù)x1、x2∈[﹣9,9]且x1<x2 , 可得f(x1)﹣f(x2)=f[(x1﹣x2)+x2]﹣f(x2)=﹣f(x2﹣x1),利用x>0時(shí),f(x)<0,即可得出單調(diào)性,進(jìn)而得出最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(1﹣x)=f(1+x),若f(﹣1)+f(3)=12,則f(3)= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為( )
A.假設(shè)至少有一個(gè)鈍角
B.假設(shè)至少有兩個(gè)鈍角
C.假設(shè)沒有一個(gè)鈍角
D.假設(shè)沒有一個(gè)鈍角或至少有兩個(gè)鈍角
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是( ) ①若a>b,則am2>bm2;
②在線性回歸分析中,相關(guān)系數(shù)r越大,變量間的相關(guān)性越強(qiáng);
③已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),P(ξ≤4)=0.79,則P(ξ≤﹣2)=0.21;
④已知l,m為兩條不同直線,α,β為兩個(gè)不同平面,若α∩β=l,m∥α,m∥β,則m∥l.
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=3﹣3x的值域?yàn)椋?/span> )
A.(﹣∞,3]
B.(0,+∞)
C.(﹣∞,0)
D.(﹣∞,3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(﹣2),f(3),f(﹣π)的大小順序是( )
A.f(﹣π)>f(3)>f(﹣2)
B.f(﹣π)>f(﹣2)>f(3)
C.f(﹣2)>f(3)>f(﹣π)
D.f(3)>f(﹣2)>f(﹣π)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={﹣1,1},集合B={x|ax=1,a∈R},則使得BA的a的所有取值構(gòu)成的集合是( )
A.{0,1}
B.{0,﹣1}
C.{1,﹣1}
D.{﹣1,0,1}
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