Question

10．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求此橢圓的方程．
（Ⅱ）若直線y=$\frac{x}{2}$+m與此橢圓交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為P（x，y）．可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+{y}_{1}^{2}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}$=1，兩式相減并代入x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，即可得出，由P在橢圓內(nèi)部，可求得$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}$．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得c=$\sqrt{3}$，a=2，b=1．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為P（x，y）．
∴$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+{y}_{1}^{2}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}$=1．
兩式相減得$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．
又x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2x}{4}+2y×\frac{1}{2}$=0，化為x+2y=0．
∵P在橢圓內(nèi)部，可求得$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}$．
∴線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程為x+2y=0，（$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．