Question

2．已知定圓C：x²+（y-3）²=4，定直線m：x+3y+6=0，過(guò)A（-1，0）的一條動(dòng)直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）如果l過(guò)圓心C，求證：l與m垂直；
（Ⅱ）當(dāng)|PQ|=2$\sqrt{3}$時(shí)，求直線l的方程；
（Ⅲ）設(shè)N為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段AN的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1即可證明；
（Ⅱ）由|PQ|=2$\sqrt{3}$得圓心C到直線l的距離d=1，設(shè)直線l的方程為x-ny+1=0，求得n的值，可得直線l的方程；
（Ⅲ）利用代入法，即可求線段AN的中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閘過(guò)圓心C，所以直線l的斜率是$\frac{3-0}{0+1}$=3
因?yàn)橹本�m：x+3y+6=0的斜率為-$\frac{1}{3}$，
所以直線l的斜率為3，
所以l與m垂直；
（Ⅱ）由|PQ|=2$\sqrt{3}$，得圓心C到直線l的距離d=1，
設(shè)直線l的方程為x-ny+1=0，則由d=$\frac{|1-3n|}{\sqrt{1+{n}^{2}}}$=1．
解得n=0，或n=$\frac{3}{4}$，
所以直線l的方程為x+1=0或4x-3y+4=0．
（Ⅲ）設(shè)N（a，b），M（x，y），則2x=a-1，2y=b，
∴a=2x+1，b=2y，
∵a²+（b-3）²=4，
∴（2x+1）²+（2y-3）²=4
∴線段AN的中點(diǎn)M的軌跡方程是（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩條直線垂直的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，以及代入法求軌跡方程，屬于中檔題．