Question

2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），且橢圓Γ的上頂點到直線$\sqrt{3}$x+y+1=0的距離等于1．
（1）求橢圓Γ的標準方程；
（2）過點P（1，2）作兩條傾斜角互補的兩直線l₁，l₂分別交橢圓Γ于A，B，C，D四點，求k_AC+k_BD的值．

Answer 1

分析 （1）橢圓上頂點（0，b），由題意可得：$\frac{b+1}{2}$=1，c=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²．聯(lián)立解出即可得出．
（2）設(shè)直線l₁的斜率為k，則l₂的斜率為-k．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．直線l₁，l₂的方程分別為：y-2=k（x-1），y-2=-k（x-1），分別與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其斜率計算公式即可得出．

解答 解：（1）橢圓上頂點（0，b），由題意可得：$\frac{b+1}{2}$=1，c=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²．
聯(lián)立解得b=1，a=2．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）設(shè)直線l₁的斜率為k，則l₂的斜率為-k．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
直線l₁，l₂的方程分別為：y-2=k（x-1），y-2=-k（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2-k}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（1+4k²）x²+（16k-8k²）x+4k²-16k+12=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}-16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-16k+12}{1+4{k}^{2}}$，
同理可得：x₃+x₄=$\frac{8{k}^{2}+16k}{1+4{k}^{2}}$，x₃，x₄=$\frac{4{k}^{2}+16k+12}{1+4{k}^{2}}$，
∴k_AC+k_BD=$\frac{{y}_{3}-{y}_{1}}{{x}_{3}-{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{4}-{y}_{2}}{{x}_{4}-{x}_{2}}$=$\frac{-k{x}_{3}+2+k-（k{x}_{1}+2-k）}{{x}_{3}-{x}_{1}}$+$\frac{-k{x}_{4}+k+2-（k{x}_{2}+2-k）}{{x}_{4}-{x}_{2}}$
=$\frac{-k（{x}_{3}+{x}_{1}-2）}{{x}_{3}-{x}_{1}}$+$\frac{-k（{x}_{4}+{x}_{2}-2）}{{x}_{4}-{x}_{2}}$
=$\frac{-2k[{x}_{3}{x}_{4}-{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）-（{x}_{3}+{x}_{4}）]}{（{x}_{3}-{x}_{1}）（{x}_{4}-{x}_{2}）}$，
分子=-2k$[\frac{4{k}^{2}+16k+12}{1+4{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}-16k+12}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}+16k}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{8{k}^{2}-16k}{1+4{k}^{2}}]$
=0．
∴k_AC+k_BD=0．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．