Question

13．已知函數 f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設α，β為銳角，cosα=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，sin（α+β）=$\frac{{22\sqrt{5}}}{65}$，求 f（$\frac{β}{2}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根據函數圖象求出A，ω和φ的值即可，
（2）利用兩角和差的余弦公式和正弦公式進行化簡求解．

解答 解：（1）函數的周期T=2[$\frac{π}{8}$-（-$\frac{3π}{8}$）]=2×$\frac{4π}{8}$=π，即T=$\frac{2π}{ω}$=π，
則ω=2，f（x）=Acos（2x+φ）
由五點對應法得$\frac{π}{8}$×2+φ=$\frac{π}{2}$，即φ=$\frac{π}{4}$，
此時f（x）=Acos（2x+$\frac{π}{4}$），
∵f（0）=Acos$\frac{π}{4}$=1，即A=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）．
（2）f（$\frac{β}{2}$）=$\sqrt{2}$cos（β+$\frac{π}{4}$），
∵α，β為銳角，cos$α=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，sin$（α+β）=\frac{{22\sqrt{5}}}{65}$，
∴sinα=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{20}{25}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{26\sqrt{5}}{65}$＞$\frac{22\sqrt{5}}{65}$=sin（α+β），
∴α+β是鈍角，
則cos（α+β）=$-\frac{19\sqrt{5}}{65}$
∴cosβ=cos（α+β-α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=$-\frac{19\sqrt{5}}{65}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{22\sqrt{5}}{65}$=$\frac{5}{13}$，
則sinβ=$\frac{12}{13}$，
則f（$\frac{β}{2}$）=$\sqrt{2}$cos（β+$\frac{π}{4}$）=cosβ-sinβ=$\frac{5}{13}-\frac{12}{13}$=-$\frac{7}{13}$．

點評 本題主要考查三角函數解析式的求解以及三角函數的化簡，利用數形結合以及兩角和差的公式是解決本題的關鍵．