Question

已知函數(shù)f（x）=

1-a+lnx

x

，a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）當a=1時，若不等式f（x）-k＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對函數(shù)f（x）求導，令f′（x）=0得x=e^a，可知f（x）有極大值為f（e^a）=e^-a；
（Ⅱ）由于不等式f（x）-k＜0等價于

lnx

x

＜k在（0，+∞）上恒成立，可設g(x)=

lnx

x

，(x＞0)求出g（x）的最大值

1

e

，即可得到k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．  
f′(x)=

a-lnx

x2

，令f′（x）=0得x=e^a     
當x∈（0，e^a），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；   
當x∈（e^a，+∞），f′（x）＜0，f（x）為為減函數(shù)，
可知f（x）有極大值為f（e^a）=e^-a；
（Ⅱ）由于a=1，所以不等式f（x）-k＜0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，即

lnx

x

＜k在（0，+∞）上恒成立，
設g(x)=

lnx

x

，(x＞0)
由（Ⅰ）知，g（x）在x=e處取得最大值

1

e

，
∴k＞

1

e

．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、求函數(shù)極值及函數(shù)恒成立問題，具有一定綜合性，恒成立問題往往轉化為函數(shù)最值解決．