Question

已知函數(shù)f（x）=（-x²+ax）e^x（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈（-1，1）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由題意可得f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，令g（x）=-x²+（a-2）x+a，故g（x）的符號與f′（x）的符號相同．求得g（x）＞0時x的范圍，可得f（x）的增區(qū)間；再求得g（x）＜0時x的范圍，可得f（x）的減區(qū)間．
（2）若函數(shù)f（x）在x∈（-1，1）上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0在（-1，1）上恒成立，即a≥

x2+2x

x+1

 在（-1，1）上恒成立．設h（x）=

x2+2x

x+1

，利用導數(shù)求得h（x）＜h（1）=

3

2

，可得a的范圍．

解答： 解：（1）由題意可得f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，令g（x）=-x²+（a-2）x+a，∵e^x＞0，
故g（x）的符號與f′（x）的符號相同．
對于g（x），由于△=（a-2）²+4a=a²+4＞0，令g（x）=0，求得x=

(a-2)± a2+4

2

，
故當x∈（-∞，

a-2- a2-4

2

）∪（

a-2+ a2-4

2

，+∞）時，g（x）＞0，f′（x）＞0；
當x∈（

a-2- a2-4

2

，

a-2+ a2-4

2

 ）時，g（x）＜0，f′（x）＜0，
故函數(shù)的增區(qū)間為∈（-∞，

a-2- a2-4

2

）、（

a-2+ a2-4

2

，+∞），減區(qū)間為（

a-2- a2-4

2

，

a-2+ a2-4

2

 ）．
（2）若函數(shù)f（x）在x∈（-1，1）上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0在（-1，1）上恒成立．
即-x²+（a-2）x+a≥0在（-1，1）上恒成立，即 a≥

x2+2x

x+1

 在（-1，1）上恒成立．
設h（x）=

x2+2x

x+1

，在（-1，1）上，h′（x）=

(x+1)2+1

(x+1)2

＞0，∴h（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，∴h（x）＜h（1）=

3

2

，
故a≥

3

2

．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．