Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，且對(duì)任意n∈N^*，都有a_n+1=ba_n+c，其中b，c是常數(shù)．
（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且c=2，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且|b|＜2，當(dāng)從數(shù)列{a_n}中任意取出相鄰的三項(xiàng)，按某種順序排列成等差數(shù)列，求使數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n＜

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成立的n的取值集合．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)c=2時(shí)，求出a₂，a₃的值，由等差數(shù)列的性質(zhì)列式求出b，然后分類求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到c=0或2b+c=2，當(dāng)2b+c=2時(shí)不滿足題意，當(dāng)c=0時(shí)分b=0和b≠0討論，當(dāng)b≠0時(shí)由a_n，a_n+1，a_n+2按某種順序排列成等差數(shù)列得到1+b=2b²，或1+b²=2b，或b+b²=2，結(jié)合b的范圍求出b，代入等比數(shù)列的求和公式求解S_n＜

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得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)c=2時(shí)，由已知得，
a₁=2，a₂=ba₁+2=2b+2，a3=ba2+2=2b2+2b+2，
∵{a_n}是等差數(shù)列，
∴a₁+a₃=2a₂，
即2+（2b²+2b+2）=2（2b+2），
∴b²-b=0，解得b=0或b=1．
當(dāng)b=0時(shí)，a_n=2對(duì)n∈N^*有a_n+1-a_n=0成立，
∴數(shù)列{a_n}是差數(shù)列；
當(dāng)b=1時(shí)，a_n+1=a_n+2（n∈N^*），即a_n+1-a_n=2成立，數(shù)列{a_n}是差數(shù)列．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式分別為a_n=2或a_n=2n．
（2）∵{a_n}是等比數(shù)列，
∴a1a3=a22，
即2[b（2b+c）+c]=（2b+c）²，化簡得2bc+c²=2c，
∴c=0或2b+c=2．
當(dāng)2b+c=2時(shí)，a₂=ba₁+c=2b+c=2，a_n=2，不滿足S_n＜

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；
當(dāng)c=0時(shí)，若b=0，則a₁=0，與a₁=2矛盾，
∴b≠0，則an=2bn-1，
則an+1=2bn，an+2=2bn+1，
∵a_n，a_n+1，a_n+2按某種順序排列成等差數(shù)列，
∴1+b=2b²，或1+b²=2b，或b+b²=2，
解之得b=1，-

1

2

，-2．
又∵|b|＜2
∴b=-

1

2

，或b=1，
當(dāng)b=-

1

2

時(shí)，
則Sn=

2[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=

4

3

[1-(-

1

2

)n]，
由S_n＜

341

256

，得

4

3

[1-(-

1

2

)n]＜

341

256

，即(-

1

2

)n＞

1

1024

．
∵n為正整數(shù)，
∴n取值集合為{2，4，6，8}．
當(dāng)b=1時(shí)，Sn=2n，不合題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了數(shù)列不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的首項(xiàng)思想方法，是壓軸題．