已知橢圓C：(a＞b＞0)，其焦距為2c，若(≈0.618)，則稱橢圓C為“黃金橢圓”．

(1)求證：在黃金橢圓C：(a＞b＞0)中，a、b、c成等比數(shù)列．

(2)黃金橢圓C：(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F2(c，0)，P為橢圓C上的

任意一點(diǎn)．是否存在過點(diǎn)F2、P的直線l，使l與y軸的交點(diǎn)R滿足？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由．

(3)在黃金橢圓中有真命題：已知黃金橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1(－c，0)、F2(c，0)，以A(－a，0)、B(a，0)、D(0，－b)、E(0，b)為頂點(diǎn)的菱形ADBE的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)F1、F2．

試寫出“黃金雙曲線”的定義；對于上述命題，在黃金雙曲線中寫出相關(guān)的真命題，并加以證明．

答案：
解析：

　　(1)證明：由及，得，故a、b、c成等比數(shù)列．(4分)

　　(2)解：由題設(shè)，顯然直線l垂直于x軸時不合題意，設(shè)直線l的方程為，

　　得，又，及，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，(6分)

　　因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，又，得，，故存在滿足題意的直線，其斜率．(10分)

　　(3)黃金雙曲線的定義：已知雙曲線：，其焦距為，若(或?qū)懗?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2103/0022/308fc2ce0a6bb53c35914ceb1fba949b/C/Image56.gif" width=68 HEIGHT=41>)，則稱雙曲線為“黃金雙曲線”．(12分)

　　在黃金雙曲線中有真命題：已知黃金雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是、，以、、、為頂點(diǎn)的菱形的內(nèi)切圓過頂點(diǎn)、．(14分)

　　證明：直線的方程為，原點(diǎn)到該直線的距離為，將代入，得，又將代入，化簡得，故直線與圓相切，同理可證直線、、均與圓相切，即以、為直徑的圓為菱形的內(nèi)切圓，命題得證．(16分)


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C:=1(a＞b＞0),直線l1:=1被橢圓C截得的弦長為2，過橢圓C的右焦點(diǎn)且斜率為3的直線l2被橢圓C截得的弦長是橢圓長軸長的，求橢圓C的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練22練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.

(1)求橢圓C的方程;

(2)當(dāng)△AMN的面積為時,求k的值.

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練22練習(xí)卷（解析版） 題型：選擇題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,則C的離心率為(　　)

(A) (B) (C) (D)

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省高三8月第一次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分14分）

已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過橢圓C上的動點(diǎn)P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線PA、PB，A、B分別為切點(diǎn)，試探究橢圓C上是否存在點(diǎn)P，由點(diǎn)P向圓O所引的兩條切線互相垂直？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年遼寧省高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)文卷 題型：解答題

(本小題滿分12分)

已知橢圓C:（a＞b＞0）的離心率為短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的

距離為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;    

(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求△AOB面積的

最大值.

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案