Question

已知函數f（x）=a（x-）-lnx，
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）在其定義域內為增函數，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設函數，若在[1，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求實數a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）當a=1時，函數，
f（1）=1-1-ln1=0，
f′（x）=，
曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f′（1）=1+1-1=1，
從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=x-1，即y=x-1；
（Ⅱ）f′（x）=，
要使f（x）在定義域（0，+∞）內是增函數，只需f′（x）≥0在（0，+∞）內恒成立，
即ax²-x+a≥0，得恒成立，
由于，
∴，∴，
∴f（x）在（0，+∞）內為增函數，實數a的取值范圍是；
（Ⅲ）∵在[1，e]上是減函數，
∴x=e時，g（x）_min=1；x=1時，g（x）_max=e，即 g（x）∈[1，e]，
f′（x）=，令h（x）=ax²-x+a，
當時，由（Ⅱ）知f（x）在[1，e]上是增函數，f（1）=0＜1，
又g（x）在[1，e]上是減函數，
故只需f（x）_max≥g（x）_min，x∈[1，e]，
而，g（x）_min=1，
即，解得，
所以實數a的取值范圍是。