Question

19．已知復(fù)數(shù)z=（a-1）+i，（a∈R）是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$的模等于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 解法一：復(fù)數(shù)z=（a-1）+i，（a∈R）是純虛數(shù)，可得a-1=0，解得a．利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$，再利用模的計(jì)算公式即可得出．
解法二：復(fù)數(shù)z=（a-1）+i，（a∈R）是純虛數(shù)，可得a-1=0，解得a．代入復(fù)數(shù)$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$，利用復(fù)數(shù)積的模的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：解法一：復(fù)數(shù)z=（a-1）+i，（a∈R）是純虛數(shù)，∴a-1=0，解得a=1．
則復(fù)數(shù)$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$=$\frac{2+\sqrt{2}i}{1-i}$=$\frac{（2+\sqrt{2}i）（1+i）}{（1-i）（1+i）}$=$\frac{2-\sqrt{2}+（2+\sqrt{2}）i}{2}$，
則復(fù)數(shù)|$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$|=$\sqrt{（\frac{2-\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{2+\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
解法二：復(fù)數(shù)z=（a-1）+i，（a∈R）是純虛數(shù)，∴a-1=0，解得a=1．
則復(fù)數(shù)$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$=$\frac{2+\sqrt{2}i}{1-i}$，
則復(fù)數(shù)|$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$|=$\frac{|2+\sqrt{2}i|}{|1-i|}$=$\frac{\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及其運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．