Question

9．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-1．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線l：y=x+m與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，M為線段AB的中點(diǎn)且滿足|OM|=2$\sqrt{5}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由于拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，由條件即可得到p=2，進(jìn)而得到拋物線方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得M的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式，計(jì)算即可得到m，進(jìn)而得到所求直線方程．

解答 解：（1）由于拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
又拋物線C的準(zhǔn)線為x=-1，
∴$\frac{p}{2}$=1，即p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$消去y，整理得x²+（2m-4）x+m²=0
令△=-16m+16＞0，即m＜1①，
求解可得x₁+x₂=4-2m，
y₁+y₂=（x₁+m）+（x₂+m）=（x₁+x₂）+2m=4，
∴M（2-m，2），
由|OM|=2$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{（2-m）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，解得m=-2或m=6②
由①②得，m=-2
∴直線l的方程為y=x-2．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的準(zhǔn)線方程，同時(shí)考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．