Question

5．如果x₀是函數(shù)f（x）的一個零點，且在這個零點兩側(cè)函數(shù)值異號，則稱x₀是函數(shù)f（x）的一個變號零點，已知函數(shù)f（x）=ax²+1+lnx在（$\frac{1}{e}$，e）上有且僅有一個變號零點，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [-$\frac{2}{{e}^{2}}$，0）
• B． [-$\frac{2}{{e}^{2}}$，0）∪{$-\frac{1}{2}$e}
• C． [-$\frac{e}{2}$，0）
• D． [-$\frac{2}{{e}^{2}}$，0]

Answer 1

分析 分類參數(shù)得-a=$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$，判斷右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)圖象，根據(jù)方程只有1解得出a的范圍．

解答 解：令f（x）=0得-a=$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$，
令g（x）=$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$，則g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•{x}^{2}-（lnx+1）•2x}{{x}^{4}}$=$\frac{-2lnx-1}{{x}^{3}}$，
令g′（x）=0得x=e${\;}^{-\frac{1}{2}}$，
∴當x∈（$\frac{1}{e}$，e${\;}^{-\frac{1}{2}}$）時，g′（x）＞0，當x∈（e${\;}^{-\frac{1}{2}}$，e）時，g′（x）＜0，
∴g（x）在（$\frac{1}{e}$，e${\;}^{-\frac{1}{2}}$）上單調(diào)遞增，在（e${\;}^{-\frac{1}{2}}$，e）上單調(diào)遞減，
且g（$\frac{1}{e}$）=0，g（e）=$\frac{2}{{e}^{2}}$，g（e${\;}^{-\frac{1}{2}}$）=$\frac{e}{2}$．
作出g（x）的大致函數(shù)圖象如圖所示：

∵f（x）在（$\frac{1}{e}$，e）上只有一個零點，∴-a=g（x）在（$\frac{1}{e}$，e）上只有1解，
∴0＜-a≤$\frac{2}{{e}^{2}}$或-a=$\frac{e}{2}$，解得-$\frac{2}{{e}^{2}}$≤a＜0或a=-$\frac{e}{2}$．
故選B．

點評 本題考查了方程零點個數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性判斷，屬于中檔題．