已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同時(shí)滿足條件：

①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；

②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，

則m的取值范圍是________．

解析　當(dāng)x<1時(shí)，g(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0，當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)＝0，m＝0不符合要求；當(dāng)m>0時(shí)，根據(jù)函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的單調(diào)性，一定存在區(qū)間[a，＋∞)使f(x)≥0且g(x)≥0，故m>0時(shí)不符合第①條的要求；當(dāng)m<0時(shí)，如圖所示，如果符合①的要求，則函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)都得小于1，如果符合第②條要求，則函數(shù)f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)小于－4，問題等價(jià)于函數(shù)f(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，其中較大的零點(diǎn)小于1，較小的零點(diǎn)小于－4，函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)是2m，－(m＋3)，故m滿足或解第一個(gè)不等式組得－4<m<－2，第二個(gè)不等式組無解，故所求m的取值范圍是(－4，－2)．

答案　(－4，－2)

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已知f(x)＝x2＋bx＋c為偶函數(shù)，曲線y＝f(x)過點(diǎn)(2，5)，g(x)＝(x＋m)f(x)．若曲線y＝g(x)有斜率為0的切線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．

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已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2．若同時(shí)滿足條件：

①x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0；

②x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0，則m的取值范圍是________．

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已知f(x)＝mx(m為常數(shù)，m＞0且m≠1)．

設(shè)f(a1)，f(a2)，…，f(an)…(n∈N?)是首項(xiàng)為m2，公比為m的等比數(shù)列．

(1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；

(2)若bn＝an·f(an)，且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)m＝2時(shí)，求Sn；

(3)若cn＝f(an)lgf(an)，問是否存在m，使得數(shù)列{cn}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)？若存在，求出m的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點(diǎn)A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03－3x0)，因?yàn)檫^點(diǎn)A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數(shù)∴m＝－2x03＋6x02－6

然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03－3x0)，

∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

又切線過點(diǎn)A(2，m)

∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

∴m＝－2x03＋6x02－6

令g(x)＝－2x3＋6x2－6

則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．

∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當(dāng)－6<m<2時(shí)，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

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