Question

1．已知函數(shù)f（x）=2sinωx-4sin²$\frac{ωx}{2}$+2+m（其中ω＞0，m∈R），且當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的圖象在y軸右側(cè)得到第一個(gè)最高點(diǎn)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[2，4]上的最大值為5，最小值是p，求m和p的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據(jù)當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的圖象在y軸右側(cè)得到第一個(gè)最高點(diǎn)，解出ω．再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，
（Ⅱ）x∈[-π12，5π12]時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的取值范圍

解答 解：函數(shù)f（x）=2sinωx-4sin²$\frac{ωx}{2}$+2+m，
化簡(jiǎn)可得：f（x）=2sinωx-4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cosωx）+2+m=2sinωx+2cosωx+m=2$\sqrt{2}$sin（$ωx+\frac{π}{4}$）+m．
由題意，x=$\frac{1}{2}$時(shí)，可得$\frac{ω}{2}+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
∴ω=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=$2\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{2}x+\frac{π}{4}$）+m．
（Ⅰ）函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=4$；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[2，4]上，則$\frac{π}{2}x+\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{4}$，$\frac{9π}{4}$]．
當(dāng)$\frac{π}{2}x+\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$，函數(shù)f（x）取得最小值為m-2$\sqrt{2}$．即p=m-2$\sqrt{2}$
當(dāng)$\frac{π}{2}x+\frac{π}{4}$=$\frac{9π}{4}$，函數(shù)f（x）取得最大值為2+m．
f（x）在區(qū)間[2，4]上的最大值為5，即2+m=5，
解得：m=3．
∴p=3-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．