2.(B組題)設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常數(shù)).若函數(shù)f(x)在區(qū)間$[{-\frac{π}{4},\frac{π}{4}}]$上具有單調(diào)性,且$f(-\frac{π}{2})=f(-\frac{π}{4})=-f(\frac{π}{4})$,則f(x)的對稱中心坐標(biāo)為($\frac{3kπ}{4}$,0)(其中k∈Z).

分析 利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性以及圖象的對稱性,得出結(jié)論.

解答 解:∵函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常數(shù))在區(qū)間$[{-\frac{π}{4},\frac{π}{4}}]$上具有單調(diào)性,
∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{2}$,且ω•$\frac{π}{4}$+φ≤$\frac{π}{2}$,∴ω≤2,ωπ+4φ≤2π ①.
∵$f(-\frac{π}{2})=f(-\frac{π}{4})=-f(\frac{π}{4})$,故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{-\frac{π}{2}+(-\frac{π}{4})}{2}$=-$\frac{3π}{8}$對稱,也關(guān)于點(0,0)對稱,
故f(x)為奇函數(shù),故φ=0,f(x)=Asin(ωx).
故周期的最大值為(0+$\frac{3π}{8}$)×4=$\frac{3π}{2}$,故函數(shù)的圖象的對稱中心為(0+k•$\frac{3π}{4}$,0),即(k•$\frac{3π}{4}$,0),
故答案為:$\frac{3kπ}{4}$.

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性以及圖象的對稱性,屬于基礎(chǔ)題.

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