Question

F₁、F₂為某橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F₂的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若PF₁⊥PQ，且|PF₁|=|PQ|，則橢圓的離心率e=

 

．

Answer 1

分析：設(shè)|PF₁|=t，則|PQ|=t，|F₁Q|=

2

t，根據(jù)橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=|QF₁|+|QF₂|=2a，進(jìn)而得|PF₁|+|PQ|+|F₁Q|=4a，求得|PF₂|關(guān)于t的表達(dá)式，進(jìn)而利用韋達(dá)定理可知[（4-2

2

）a]²+[（2

2

-2）a]²=（2c）²求得a和c的關(guān)系．

解答：解：設(shè)|PF₁|=t，則|PQ|=t，|F₁Q|=

2

t，由橢圓定義有：|PF₁|+|PF₂|=|QF₁|+|QF₂|=2a
∴|PF₁|+|PQ|+|F₁Q|=4a，
化簡(jiǎn)得（

2

+2）t=4a，t=（4-2

2

）a
∴|PF₂|=2a-t=（2

2

-2）a
在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|²=（2c）²
∴[（4-2

2

）a]²+[（2

2

-2）a]²=（2c）²
∴（

c

a

）²=9-6

2

∴e=

6

-

3

故答案為

6

-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了學(xué)生對(duì)橢圓定義的理解和運(yùn)用．