Question

5．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
（1）f（x）=3x²-2lnx
（2）y=x³+ax（a∈R）

Answer 1

分析 求函數(shù)的定義域和導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=3x²-2lnx的定義域為（0，+∞），
則函數(shù)的導數(shù)f′（x）=6x-$\frac{2}{x}$=$\frac{6{x}^{2}-2}{x}$，
由f′（x）＞0得6x²-2＞0，即x²＞$\frac{1}{3}$，則x＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$或x＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍），即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞），
由f′（x）＜0得6x²-2＜0，即x²＜$\frac{1}{3}$，則-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∵x＞0，∴0＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
（2）y=x³+ax（a∈R）的導數(shù)為y′=3x²+a，
若a≥0，則y′≥0恒成立，此時函數(shù)單調(diào)遞增，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），
若a＜0，則有由y′＞0得x²＞-$\frac{a}{3}$，則x＞$\sqrt{-\frac{a}{3}}$或x＜-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，+∞），（-∞，-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）
由y′＜0得x²＜-$\frac{a}{3}$，則-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$＜x＜$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．