Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2

4+2b-b2

•x，g（x）=-

1-(x-a)2

，若存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值，則這樣的整數(shù)對（a，b）為

 

．

Answer 1

分析：討論a為0時不可能，要使f（x）有最大值，必須滿足

a＜0 4+2b-b2

≥ 0，求出此時的x=x₀，根據(jù)g（x）取最小值時，x=x₀=a，建立等量關(guān)系，結(jié)合a是整數(shù)，求出a和b的值．

解答：解：若a=0，f(x)=-2

4+2b-b2

x，則f（x）無最大值，故a≠0，
∴f（x）為二次函數(shù)，
要使f（x）有最大值，必須滿足

a＜0 4+2b-b2

≥ 0，即a＜0且 1-

5

≤b≤1+

5

，
此時，x=x0=

4+2b-b2

a

時，f（x）有最大值．
又g（x）取最小值時，x=x₀=a，
依題意，有

4+2b-b2

a

=a∈Z，
則 a2=

4+2b-b2

=

5-(b-1)2

，
∵a＜0且 1-

5

≤b≤1+

5

，
∴0＜a2≤

5

(a∈Z)，得a=-1，此時b=-1或b=3．
∴滿足條件的實數(shù)對（a，b）是（-1，-1），（-1，3）．
故答案為：（-1，-1）（-1，3）．

點評：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，以及函數(shù)的最值及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．