Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

x2+1

在點(diǎn)（-1，f（-1））的切線方程為x+y+3=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=lnx，求證：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析：（I）首先求出f（1）的值，進(jìn)而得出b-a=-4，然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f'（-1）=

b

2

=-1，就可以求出a、b的值，得出函數(shù)的解析式；
（II）將不等式整理得出（x²+1）lnx≥2x-2，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立，然后設(shè)h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，并求出h'（x），得出x≥1時(shí)h'（x）≥0，可知h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，從而求出h（x）的最小值，得出結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）將x=-1代入切線方程得y=-2
∴f(-1)=

b-a

1+1

=-2，化簡(jiǎn)得b-a=-4．                …（2分）
f′(x)=

a(x2+1)-(ax+b)•2x

(1+x2)2

f′(-1)=

2a+2(b-a)

4

=

2b

4

=

b

2

=-1．                    …（4分）
解得：a=2，b=-2
∴f(x)=

2x-2

x2+1

．                                      …（6分）
（Ⅱ）由已知得lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立
化簡(jiǎn)得（x²+1）lnx≥2x-2
即x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．             …（8分）
設(shè)h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，h′(x)=2xlnx+x+

1

x

-2
∵x≥1∴2xlnx≥0，x+

1

x

≥2，即h'（x）≥0．         …（10分）
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．                      …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究某點(diǎn)的切線方程以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，關(guān)于函數(shù)恒成立問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．