Question

10．如圖，三棱錐O-ABC中，三條側棱OA，OB，OC兩兩垂直，且長度均為4，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，過EF作平面α，平面α與側棱OA相交于A₁，與側棱OB，OC的延長線分別交于點B₁，C₁，且OA₁=3．
（Ⅰ）求證：BC∥B₁C₁；
（Ⅱ）求二面角O-A₁B₁-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過中位線定理及線面平行的判定定理即得答案；
（Ⅱ）以O為原點，OB、OC、OA分別為x、y、z軸建立坐標系，則二面角O-A₁B₁-C₁即為O-A₁E-F，所求值即為平面OA₁E的法向量與平面FA₁E的法向量的夾角的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵E、F為AB、AC中點，∴BC∥EF，
又∵BC?平面A₁B₁C₁，EF?平面A₁B₁C₁，
∴BC∥平面A₁B₁C₁，
又∵BC?平面OBC，平面OBC∩平面A₁B₁C₁=B₁C₁，
∴BC∥B₁C₁；
（Ⅱ）解：以O為原點，OB、OC、OA分別為x、y、z軸建立坐標系，
則B（4，0，0），C（0，4，0），A（0，0，4），A₁（0，0，3），E（2，0，2），F(xiàn)（0，2，2），
二面角O-A₁B₁-C₁即為O-A₁E-F，
顯然OC⊥平面OA₁E，故平面OA₁E的法向量可以取$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設平面FA₁E的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=（x，y，z）•（2，0，-1）=2x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=（x，y，z）•（-2，2，0）=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴二面角O-A₁B₁-C₁的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查二面角，空間中線面的位置關系，向量數(shù)量積運算，注意解題方法的積累，建立坐標系是解決本題的關鍵，屬于中檔題．