Question

已知函數(shù)f(x)＝x³＋3|x－a|(a＞0)，若f(x)在[－1,1]上的最小值記為g(a)．

(1)求g(a)；

(2)證明：當(dāng)x∈[－1,1]時，恒有f(x)≤g(a)＋4.

Answer 1

①當(dāng)0＜a＜1時，

若x∈[－1，a]，則f(x)＝x³－3x＋3a，f′(x)＝3x²－3＜0，故f(x)在(－1，a)上是減函數(shù)；

若x∈[a,1]，則f(x)＝x³＋3x－3a，f′(x)＝3x²＋3＞0，故f(x)在(a,1)上是增函數(shù)．

所以g(a)＝f(a)＝a³.

②當(dāng)a≥1時，有x≤a，則f(x)＝x³－3x＋3a，f′(x)＝3x²－3＜0，故f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)，所以g(a)＝f(1)＝－2＋3a.

綜上，g(a)＝

(2)證明　令h(x)＝f(x)－g(a)，

①當(dāng)0＜a＜1時，g(a)＝a³.

若x∈[a,1]，h(x)＝x³＋3x－3a－a³，得h′(x)＝3x²＋3，則h(x)在(a,1)上是增函數(shù)，所以，h(x)在[a,1]上的最大值是h(1)＝4－3a－a³，且0＜a＜1，所以h(1)≤4.故f(x)≤g(a)＋4；

若x∈[－1，a]，h(x)＝x³－3x＋3a－a³，得h′(x)＝3x²－3，則h(x)在(－1，a)上是減函數(shù)，所以，h(x)在[－1，a]上的最大值是h(－1)＝2＋3a－a³.

令t(a)＝2＋3a－a³，則t′(a)＝3－3a²＞0，

知t(a)在(0,1)上是增函數(shù)．所以，t(a)＜t(1)＝4，即h(－1)＜4.

故f(x)≤g(a)＋4.

②當(dāng)a≥1時，g(a)＝－2＋3a，故h(x)＝x³－3x＋2，得h′(x)＝3x²－3，

此時h(x)在(－1,1)上是減函數(shù)，因此h(x)在[－1,1]上的最大值是h(－1)＝4.故f(x)≤g(a)＋4.

綜上，當(dāng)x∈[－1,1]時，恒有f(x)≤g(a)＋4.