Question

10．定義在R上的奇函數(shù)f（x）對(duì)任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，若實(shí)數(shù)m，n滿足f（m²+4m+12）+f（n²-6n）＜0，則|m-2n-4|的取值范圍為（　　）

• A． $[\frac{{12\sqrt{5}}}{5}-1，\frac{{12\sqrt{5}}}{5}+1]$
• B． $（\frac{{12\sqrt{5}}}{5}-1，\frac{{12\sqrt{5}}}{5}+1）$
• C． $[12-\sqrt{5}，12+\sqrt{5}]$
• D． $（12-\sqrt{5}，12+\sqrt{5}）$

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)f（x）為增函數(shù)，即f（m²+4m+12）＜f（6n-n²），m²+4m+12＜6n-n²，即 （m+2）²+（n-3）²＜1．由于|m-2n-4|表示點(diǎn)（m，n）到直線x-2y-4=0的距離再乘以$\sqrt{5}$，故求出圓心到直線x-2y-4=0的距離，可得|m-2n-4|的取值范圍．

解答 解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）對(duì)任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，∴函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
實(shí)數(shù)m，n滿足f（m²+4m+12）+f（n²-6n）＜0，即f（m²+4m+12）＜-f（n²-6n）=f（6n-n²），
∴m²+4m+12＜6n-n²，即m²+n²+4m-6n+12＜0，即 （m+2）²+（n-3）²＜1，
故點(diǎn)（m，n）在以點(diǎn)A（-2，3）為圓心，半徑等于1的圓的內(nèi)部．
點(diǎn)（m，n）到直線x-2y-4=0的距離為$\frac{|m-2n-4|}{\sqrt{5}}$，故|m-2n-4|表示點(diǎn)（m，n）到直線x-2y-4=0的距離再乘以$\sqrt{5}$．
由于圓心A（-2，3）到直線x-2y-4=0的距離為d=$\frac{|-2-6-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
故$\frac{12\sqrt{5}}{5}$-1＜$\frac{|m-2n-4|}{\sqrt{5}}$＜$\frac{12\sqrt{5}}{5}$+1，∴12-$\sqrt{5}$＜|m-2n-4|＜12+$\sqrt{5}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．