Question

已知函數(shù)f（x）=為奇函數(shù)，f（1）＜f（3），
且不等式0≤f（x）≤的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}．
（1）求a，b，c的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m使不等式f（-2+sinθ）＜-m²+對(duì)一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用f（x）是奇函數(shù)求出b=0，再利用0≤f（x）≤的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}．得到c=-4．再由f（1）＜f（3）⇒a＞0利用不等式的解集有對(duì)應(yīng)方程的根決定進(jìn)而求出a．
（2）轉(zhuǎn)化為求f（x）在[-3，-1]上的最大值，由（1）知，f（x）在（-∞，0）以及（0，+∞）上均為增函數(shù)故最大值為，所以須有＜-m²⇒實(shí)數(shù)m不存在．
解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）對(duì)定義域內(nèi)的一切x都成立，即b=0．
從而f（x）=（x+）．
又∵，即
∴f（2）=0，解之，得c=-4．
再由f（1）＜f（3），得或從而a＞0．
此時(shí)f（x）=（x-）
在[2，4]上是增函數(shù)．
注意到f（2）=0，則必有f（4）=，
∴（4-）=，即a=2．
綜上可知，a=2，b=0，c=-4．

（2）由（1），得f（x）=（x-），
該函數(shù)在（-∞，0）以及（0，+∞）上均為增函數(shù)．
又∵-3≤-2+sinθ≤-1，
∴f（-2+sinθ）的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101230735942815637/SYS201311012307359428156019_DA/18.png">．
符合題設(shè)的實(shí)數(shù)m應(yīng)滿(mǎn)足-m²＞，即m²＜0，
故符合題設(shè)的實(shí)數(shù)m不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．若已知一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)，則應(yīng)有其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且對(duì)定義域內(nèi)的一切x都有f（-x）=-f（x）成立．