Question

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上且AG=

1

3

GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點(diǎn)，四面體P-BCG的體積為

8

3

．
（1）求二面角P-BC-D的正切值；
（2）求直線DP到平面PBG所成角的正弦值；
（3）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使異面直線DF與GC所成的角為60°，若存在，確定點(diǎn)F的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面所成的角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出PG=4，二面角P-BC-D的平面角為∠PEG，由此能求出二面角P-BC-D的正切值．
（2）作DK⊥BG交BG的延長線于K，由已知條件推導(dǎo)出DK⊥面BPG，直線DP與平面PBG所成角為∠DPK，由此能求出直線DP與平面PBG所成角的正弦值．
（3）分別以GB，GC，GP為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，利用向量法能求出滿足滿足條件的點(diǎn)F不存在．

解答： 解：（1）∵BG⊥GC，GB=GC=2，四面體P-BCG的體積為

8

3

，
∴

1

3

×

1

2

×2×2×PG=

8

3

，解得PG=4，
設(shè)二面角P-BC-D的大小為θ，
∵GB=GC=2，E為中點(diǎn)，
∴GE⊥BC，
同理PE⊥BC，
∴∠PEG=θ，
∵BG⊥GC，GB=GC=2，
∴EG=

1

2

4+4

=

2

，
∴tanθ=

PG

EG

=

4

2

=2

2

．
∴二面角P-BC-D的正切值為2

2

．…（3分）
（2）∵GB=GC=2，AG=

1

3

GD，BG⊥GC，E是BC的中點(diǎn)，
∴△BGC為等腰直角三角形，GE為∠BGC的角平分線，
作DK⊥BG交BG的延長線于K，
∵PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，
∴DK⊥面BPG
∵∠DGK=∠BGA=45°，DK⊥GK，
∴DK=GK，
∵AG=

1

3

GD，
∴DK²+GK²=DG²=（

3

4

AD）²=

9

16

×8=

9

2

，
∴DK=CK=

3

2

．
∵PG=4，DG=

3

4

AD=

3 2

2

，PG⊥DG，
∴PD=

41 2

=

82

2

，
設(shè)直線DP與平面PBG所成角為α
∵DK⊥面BPG
∴∠DPK=α，
∴sinα=

DK

DP

=

3 82

82

，
∴直線DP與平面PBG所成角的正弦值為

3 82

82

．…（8分）
（3）∵GB，GC，GP兩兩垂直，分別以GB，GC，GP為x，y，z軸建立坐標(biāo)系
假設(shè)F存在，
設(shè)F（0，y，4-2y）（0＜y＜2），
∵D(-

3

2

，

3

2

，0)，G(0，0，0)，C(0，2，0)，
∴

DF

=(

3

2

，y-

3

2

，4-2y)，

GC

=(0，2，0)，
又直線DF與GC所成的角為60°
∴cos600=

| DF • GC |

| DF || GC |

=

|2y-3|

| DF || GC |

=

1

2

，
化簡得：y2-7y+

23

2

=0y=

7± 3

2

不滿足0＜y＜2
∴這樣的點(diǎn)不存在．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查二面角正切值的求法，考查直線與平面所成角的正切值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷，綜合性強(qiáng)，解題時(shí)要注意合理地化空間問題為平面問題，要注意向量法的合理運(yùn)用．