設(shè)
a
=(2cosωx，
3
)，
b
=(sinωx，cos2ωx-sin2ωx)（ω＞0），函數(shù)f(x)=
a
•
b
，且函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為
π
4
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式．
（Ⅱ）在銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足f（A）=0，B=
π
4
，a=2，求c邊的長．
考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
專題：綜合題,三角函數(shù)的求值
分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合二倍角、輔助角公式，根據(jù)函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為
π
4
，即可求函數(shù)f（x）的解析式．
（Ⅱ）先求出A，再求出sinC，進(jìn)而利用正弦定理，即可得出結(jié)論．
解答： 解：（Ⅰ）∵
a
=(2cosωx，
3
)，
b
=(sinωx，cos2ωx-sin2ωx)（ω＞0）
∴f(x)=
a
•
b
=2sinωxcosωx+
3
（cos2ωx-sin2ωx）=sin2ωx+
3
cosωx=2sin（2ωx+
π
3
）
∵函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為
π
4
，
∴T=
2π
2ω
=4×
π
4
，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+
π
3
）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（A）=2sin（2A+
π
3
）=0，
∴sin（2A+
π
3
）=0，
∵0＜A＜
π
2
，
∴
π
3
＜2A+
π
3
＜
4π
3
，
∴2A+
π
3
=π，
∴A=
π
3
，
∴sinC=sin（A+B）=
6
+
2
4
，
由正弦定理可得c=
asinC
sinA
=
2×
6
+
2
4
3
2
=
6
+3
2
3
．
點(diǎn)評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查三角函數(shù)解析式的確定，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ax+1+bx+1
ax+bx
，a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a≠b時(shí)，利用（1）中的結(jié)論，證明不等式：
2
1
a
+
1
b
＜
ab
＜
a+b
2
＜
a2+b2
a+b
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上且AG=
1
3
GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點(diǎn)，四面體P-BCG的體積為
8
3
．
（1）求二面角P-BC-D的正切值；
（2）求直線DP到平面PBG所成角的正弦值；
（3）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使異面直線DF與GC所成的角為60°，若存在，確定點(diǎn)F的位置，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)M(
2
，1)，離心率為
2
2
．
（1）求橢圓C的方程：
（2）過點(diǎn)Q（1，0）的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（4，3），記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1•k2最大時(shí)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，點(diǎn)E在棱PB上，且PE=2EB．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求證：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)A（1，2）在拋物線Γ：y2=2px上．
（1）若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線Γ上，記三邊AB，BC，CA所在直線的斜率分別為k1，k2，k3，求
1
k1
-
1
k2
+
1
k3
的值；
（2）若四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線Γ上，記四邊AB，BC，CD，DA所在直線的斜率分別為k1，k2，k3，k4，求
1
k1
-
1
k2
+
1
k3
-
1
k4
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某高校在2013年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績，按成績共分成五組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時(shí)規(guī)定成績在85分以上的學(xué)生為“優(yōu)秀”，成績小于85分的學(xué)生為“良好”，且只有成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格．
（Ⅰ）求出第4組的頻率，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；
（Ⅱ）根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；
（Ⅲ）如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學(xué)生中共選出5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，O1、O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若∠A1AB=60°，求平面BAA1與平面CAA1的夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x2+ax+21
x+1
 (a∈R)，若對于任意的x∈N+，f（x）≥3恒成立，則a的取值范圍是
 
．

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