Question

對(duì)于函數(shù)①f（x）=lg（|x-2|+1），②f（x）=（x-2）²，③f（x）=cos（x+2），④f(x)=

4x

(x-2)2

判斷如下三個(gè)命題的真假：
命題甲：f（x+2）是偶函數(shù)；
命題乙：f（x）在（-∞，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；
命題丙：f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號(hào)是

②

．

Answer 1

分析：要判斷題目中給出的四個(gè)函數(shù)中，使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號(hào)，我們可將題目中的函數(shù)一一代入命題甲、乙、丙進(jìn)行判斷，只要有一個(gè)命題為假，即可排除，從而得到正確選項(xiàng)．

解答：解：①若f（x）=lg（|x-2|+1）則：
f（x+2）是偶函數(shù)，此時(shí)命題甲為真；
f（x）在（-∞，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；此時(shí)命題乙為真；
但f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上不是單調(diào)遞增的；此時(shí)命題丙為假．
②f（x）=（x-2）²則：
f（x+2）是偶函數(shù)，此時(shí)命題甲為真；
f（x）在（-∞，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；此時(shí)命題乙為真；
但f（x+2）-f（x）=4x-4在（-∞，+∞）上是增函數(shù)的；此時(shí)命題丙為真．
③若f（x）=cos（x+2），則：
f（x+2）是不偶函數(shù)，此時(shí)命題甲為假；
f（x）在（-∞，2）上不是減函數(shù)，在（2，+∞）上不是增函數(shù)；此時(shí)命題乙為假；
但f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上不是單調(diào)遞增的；此時(shí)命題丙為假．
④f(x)=

4x

(x-2)2

則
f（x+2）是不偶函數(shù)，此時(shí)命題甲為假，故不符合題意．
故答案為：②

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)的單調(diào)性的判定，屬于中檔題．