Question

2．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為（0，2），且離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）從橢圓C上一點(diǎn)P向圓x²+y²=1引兩條切線，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)直線AB分別與x軸，y軸交于N，M兩點(diǎn)時(shí)，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知b=2，利用離心率公式及a，b，c的關(guān)系得出a，得出橢圓方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用切線性質(zhì)求出兩條切線方程，根據(jù)P為切線的公共點(diǎn)得出三點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，從而利用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出直線AB的方程，得出M，N的坐標(biāo)，利用基本不等式得出|MN|的最小值．

解答 解：（1）∵（0，2）為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，∴b=2，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，∴a=3．
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴圓過(guò)A點(diǎn)的方程為：x₁x+y₁y=1，圓過(guò)點(diǎn)B的方程為：x₂x+y₂y=1，
∵兩條切線都過(guò)點(diǎn)P，∴x₁x₀+y₁y₀=1，x₂x₀+y₂y₀=1，
∴直線AB的方程為：x₀x+y₀y=1，
∴$M（0，\frac{1}{y_0}），N（\frac{1}{x_0}，0）$，
∴$|MN{|^2}=\frac{1}{{{x_0}^2}}+\frac{1}{{{y_0}^2}}=（\frac{1}{{{x_0}^2}}+\frac{1}{{{y_0}^2}}）•（\frac{{{x_0}^2}}{9}+\frac{{{y_0}^2}}{4}）$
=$\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+\frac{{{x_0}^2}}{{9{y_0}^2}}+\frac{{{y_0}^2}}{{4{x_0}^2}}≥\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{1}{9}•\frac{1}{4}}=\frac{25}{36}$，
當(dāng)且僅當(dāng)${x_0}^2=\frac{18}{5}，{y_0}^2=\frac{12}{5}$時(shí)取等號(hào)，
∴|MN|的最小值為$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．