Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-n（n-1），其中n∈N^*．
（1）求證：{a_n}是等差數(shù)列；
（2）求證：a_n•a_n+1＜4S_n；
（3）求證：

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜

5

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），易證a_n-a_n-1=2（n≥2，n∈N^*），于是可證得：{a_n}是等差數(shù)列；
（2）由（1）得a_n=2n-1，S_n=n²，易證a_n•a_n+1=（2n-1）•（2n+1）=4n²-1＜4S_n；
（3）易求得

1

Sn

＜

4

an•an+1

=

2(an+1-an)

an•an+1

=2(

1

an

-

1

an+1

)，從而可證得

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜

5

3

．

解答： 證明：（1）當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，由已知S_n=na_n-n（n-1）得S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）．
兩式相減得S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1）．又S_n-S_n-1=a_n，所以（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=2（n-1）．
即a_n-a_n-1=2（n≥2，n∈N^*）．所以{a_n}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列．（4分）
（2）由（1）得a_n=2n-1，S_n=n²，n∈N^*．
所以a_n•a_n+1=（2n-1）•（2n+1）=4n²-1＜4S_n；  （8分）
（3）由（2）得

1

Sn

＜

4

an•an+1

=

2(an+1-an)

an•an+1

=2(

1

an

-

1

an+1

)，
所以

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

≤1+2[(

1

a2

-

1

a3

)+(

1

a3

-

1

a4

)+…+(

1

an

-

1

an+1

)]
=1+2(

1

a2

-

1

an+1

)=1+2(

1

3

-

1

2n+1

)＜1+

2

3

=

5

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查運(yùn)算、推理與證明的能力，突出考查等差關(guān)系的確定與裂項(xiàng)法求和的綜合應(yīng)用，屬于難題．