Question

4．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（c+b）（sinC-sinB）=a（sinA-sinB）．若c=2$\sqrt{3}$，則a²+b²的取值范圍是（20，24]．

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理，余弦定理可求C的值，進(jìn)而由正弦定理可得a=4sinA，b=4sinB，令A(yù)=60°+α，B=60°-α，（0°≤α＜30°），利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得a²+b²=16（1+$\frac{1}{2}$cos2α）的值，由范圍0°≤2α＜60°，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求其取值范圍．

解答 解：∵（c+b）（sinC-sinB）=a（sinA-sinB）．若c=2$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理$（c+b）（c-b）=a（a-b）⇒{c^2}={a^2}+{b^2}-ab⇒cosC=\frac{1}{2}⇒C=60°⇒A+B=120°$．
∴由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=2R=\frac{c}{sinC}=\frac{{2\sqrt{3}}}{sin60°}=4⇒a=4sinA，b=4sinB$，
令A(yù)=60°+α，B=60°-α，（0°≤α＜30°），
∴a²+b²=16（sin²A+sin²B）=16[sin²（60°+α）+sin²（60°-α）]
=16[（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$α+\frac{1}{2}sinα$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}$sinα）²]
=16（$\frac{3}{2}$cos²α+$\frac{1}{2}$sin²α）=16（$\frac{3}{2}$×$\frac{1+cos2α}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{1-cos2α}{2}$）=16（1+$\frac{1}{2}$cos2α），
∵0°≤2α＜60°，
∴$\frac{1}{2}＜cos2α≤1$，
∴從而有20＜a²+b²≤24．
故答案為：（20，24]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．