Question

15．已知橢圓$C：\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，點A（3，0），P是橢圓C上的動點．
（I）若直線AP與橢圓C相切，求點P的坐標(biāo)；
（II）若P在y軸的右側(cè)，以AP為底邊的等腰△ABP的頂點B在y軸上，求四邊形OPAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)直線AP的方程，代入橢圓方程，由△=0，即可求得k的值，代入即可求得P點坐標(biāo)；
（II）設(shè)AP中點為D，由|BA|=||BP|，所以BD⊥AP，求得AP的斜率，進而得到BD的斜率和中點，可得直線BD的方程，即有B的坐標(biāo)，求得四邊形OPAB的面積為S=S_△OAP+S_△OMB，化簡整理，運用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：（I）設(shè)直線AP的斜率k，（k≠0），則直線AP：y=k（x-3），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0，
由直線AP與橢圓C相切，則△=（18k²）²-4×（1+3k²）（27k²-6）=0，解得：k²=$\frac{2}{3}$，
則x²-4x+4=0，解得：x=2，
將x=2代入橢圓方程，解得：y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴P點坐標(biāo)為（2，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）或（2，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）；
（II）設(shè)線段AP的中點為D．
因為BA=BP，所以BD⊥AP．
由題意知直線BD的斜率存在，
設(shè)點P的坐標(biāo)為（x₀，y₀）（y₀≠0），
則點D的坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{0}+3}{2}$，$\frac{{y}_{0}}{2}$），直線AP的斜率k_AP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$，
∴直線BD的斜率k_BD=-$\frac{1}{{k}_{AP}}$=$\frac{3-{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
故直線BD的方程為y-$\frac{{y}_{0}}{2}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$（x-$\frac{{x}_{0}+3}{2}$）．
令x=0，得y=$\frac{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-9}{2{y}_{0}}$，故B（0，$\frac{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-9}{2{y}_{0}}$）．
由$\frac{{x}_{0}^{2}}{6}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$=1，得x₀²=6-3y₀²，化簡得B（0，$\frac{-2{y}_{0}^{2}-3}{2{y}_{0}}$）．
因此，S_{四邊形OPAB}=S_△OAP+S_△OAB=$\frac{1}{2}$×3×|y₀|+$\frac{1}{2}$×3×|$\frac{-2{y}_{0}^{2}-3}{2{y}_{0}}$|
=$\frac{3}{2}$（|y₀|+|$\frac{-2{y}_{0}^{2}-3}{2{y}_{0}}$|）=$\frac{3}{2}$（2|y₀|+$\frac{3}{2丨{y}_{0}丨}$）≥$\frac{3}{2}$×2$\sqrt{2丨{y}_{0}丨×\frac{3}{2丨{y}_{0}丨}}$=3$\sqrt{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)2|y₀|=$\frac{3}{2丨{y}_{0}丨}$時，即y₀=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]時等號成立．
故四邊形OPAB面積的最小值為3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，直線與橢圓相切的充要條件，考查四邊形面積的最值的求法，注意運用直線的斜率公式和基本不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．