Question

如圖所示，直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE＝EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE． (1) 求證：AE⊥平面BCE (2) 求二面角B－AC－E的大小 (3) 求點(diǎn)D到平面ACE的距離

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：方法一　∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥ AE． 　　∵二面角D－AB－E為直二面角，且CB⊥AB， 　　∴CB⊥平面ABE， 　　∴CB⊥AE， 　　∴AE⊥平面BCE． 　　方法二　同方法一
(2)	方法一　如圖所示，連結(jié)BD交AC于G，連結(jié)FG． 　　∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2， 　　∴BG⊥AC，BG=． 　　∵BF⊥平面ACE， 　　由三垂線定理的逆定理得FG⊥AC， 　　∴∠BGF是二面角B－AC－E的平面角． 　　由(1)AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB． 　　又∵AE=EB， 　　∴在等腰直角三角形AEB中，BE=． 　　又∵直角△BCE中，EC==．BF===， 　　∴在直角△BFG中要sin∠BGF===． 　　∴二面角B－AC－E等于arcsin． 　　方法二　如圖所示，以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過(guò)O點(diǎn)平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz． 　　∵AE⊥平面BCE，BE平面BCE， 　　∴AF⊥BE． 　　在Rt△AEB中，AB=2，O為AB的中點(diǎn)，∴OE=1，∴A(0，－1，0)，E(1，0，0)，C(0，1，2)． 　　∴=(1，1，0)，=(0，2，2)． 　　設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為，n=(x，y，z)， 　　則即 　　解得 　　令x=1，得，n=(1，－1，1)是平面AEC的一個(gè)法向量．又平面BAC的一個(gè)法向量為m=(1，0，0)． 　　∴cos〈m，n〉===， 　　∴二面角B－AC－E的大小為arccos．
(3)	方法一　過(guò)E作EO⊥AB交AB于O，OE=1 　　∵二面角D－AB－E為直二面角， 　　∴EO⊥平面ABCD． 　　設(shè)D到平面ACE的距離為h， 　　∵VD－ACE=VE－ACD， 　　∴S△ACE·h=S△ACD·EO 　　∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EC． 　　∴h===，∴點(diǎn)D到平面ACE的距離為． 　　方法二　∵AD∥z軸，AD=2， 　　∴=(0，0，2)． 　　∴點(diǎn)D到平面ACE的距離 　　d=｜｜·｜c(diǎn)os〈，n〉｜= 　　 ==． 　　點(diǎn)評(píng)：利用向量求二面角，一般有兩種方法： 　　(1)兩個(gè)半平面的法向量的夾角，即為二面角的平面角或其補(bǔ)角； 　　(2)若在兩個(gè)面內(nèi)分別有與棱垂直的直線，則轉(zhuǎn)化為求這兩直線的方向向量的夾角．