Question

（2011•晉中三模）設函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若?x∈R，f(x)≥t2-

11

2

t恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)絕對值的代數(shù)意義，去掉函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-2|中的絕對值符號，求解不等式f（x）＞2，
（2）由（1）得出函數(shù)f（x）的最小值，若?x∈R，f(x)≥t2-

11

2

t恒成立，只須f(x) min≥t2-

11

2

t即可，求出實數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=

-x-3，x＜- 1 2 3x-1，- 1 2 ≤x＜2 x+3，x≥2

當x＜-

1

2

，-x-3＞2，x＜-5，∴x＜-5
當-

1

2

≤x＜2，3x-1＞2，x＞1，∴1＜x＜2
當x≥2，x+3＞2，x＞-1，∴x≥2
綜上所述 {x|x＞1或x＜-5}．----------------------（5分）
（2）由（1）得f(x)min=-

5

2

，若?x∈R，f(x)≥t2-

11

2

t恒成立，
則只需f(x)min=-

5

2

≥t2-

11

2

t?2t2-11t+5≤0?

1

2

≤t≤5，
綜上所述

1

2

≤t≤5．------------------------------（10分）

點評：考查了絕對值的代數(shù)意義、一元二次不等式的應用、分段函數(shù)的解析式等基本，去絕對值體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬中檔題．