(本小題滿分16分)
已知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446491985.gif)
,
且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231614465071194.gif)
.
(Ⅰ)當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446522231.gif)
時,求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446522270.gif)
在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446554226.gif)
處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446554293.gif)
時,設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446569394.gif)
所對應(yīng)的自變量取值區(qū)間的長度為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446585185.gif)
(閉區(qū)間
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446600396.gif)
的長度定義為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446616347.gif)
),試求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446585185.gif)
的最大值;
(Ⅲ)是否存在這樣的
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446647192.gif)
,使得當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446663483.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446569394.gif)
?若存在,求出
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446647192.gif)
的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(Ⅰ) 所求切線方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446710588.gif)
,
(Ⅱ) 當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446725235.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446585185.gif)
取得最大值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446756473.gif)
(Ⅲ) 滿足題意的
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446647192.gif)
存在,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446647192.gif)
的取值范圍是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446803352.gif)
解: (Ⅰ)當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446522231.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446834523.gif)
.
因為當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446850532.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446866480.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446881490.gif)
,
且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231614468971057.gif)
,
所以當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446850532.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446928355.gif)
,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446944520.gif)
…………………………(3分)
由于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446959511.gif)
,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446990536.gif)
,又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447006308.gif)
,
故所求切線方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446710588.gif)
,
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447022660.gif)
………………………………………………………(5分)
(Ⅱ) 因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446554293.gif)
,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447068684.gif)
,則
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447100508.gif)
時,因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447115444.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447131395.gif)
,
所以由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231614471461055.gif)
,解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447178543.gif)
,
從而當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447224711.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446569394.gif)
…………………………………(6分)
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447287564.gif)
時,因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447302438.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447334295.gif)
,
所以由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231614473491096.gif)
,解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447365580.gif)
,
從而當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447396747.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446569394.gif)
……………………………(7分)
③當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447427246.gif)
時,因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231614475051066.gif)
,
從而
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446569394.gif)
一定不成立………………………………………………………(8分)
綜上得,當(dāng)且僅當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447536809.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446569394.gif)
,
故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231614475681107.gif)
…………………………………(9分)
從而當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446725235.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446585185.gif)
取得最大值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446756473.gif)
………………………………………(10分)
(Ⅲ)“當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446663483.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446569394.gif)
”等價于“
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447677419.gif)
對
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446663483.gif)
恒成立”,
即“
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447708608.gif)
(*)對
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446663483.gif)
恒成立” ……………………(11分)
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447755240.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447770510.gif)
,則當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447802237.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447817656.gif)
,則(*)可化為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447864471.gif)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447880470.gif)
,而當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447802237.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447911450.gif)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447926239.gif)
,從而
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446522231.gif)
適合題意……………………………………………………(12分)
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447958286.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447973508.gif)
.
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447989497.gif)
時,(*)可化為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447864471.gif)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447880470.gif)
,而
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447911450.gif)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447926239.gif)
,此時要求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447958286.gif)
……………………………………………(13分)
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161448082483.gif)
時,(*)可化為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161448098549.gif)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161448129251.gif)
,此時只要求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161447958286.gif)
……………………………………………(14分)
(3)當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161448160556.gif)
時,(*)可化為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161448176467.gif)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161448192488.gif)
,而
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161448207405.gif)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161448223301.gif)
,此時要求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161448238352.gif)
……………………………………………(15分)
由⑴⑵⑶,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161448238352.gif)
符合題意要求.
綜合①②知,滿足題意的
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446647192.gif)
存在,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446647192.gif)
的取值范圍是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161446803352.gif)
……………………(16分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分12分)某學(xué)校校辦工廠有毀壞的房屋一座,留有一面14m的舊墻,現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面墻的一段為面墻,建造平面圖形為矩形且面積為126
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161528190335.gif)
的廠房(不管墻高),工程的造價是:
(1)修1m舊墻的費用是造1m新墻費用的25%;
(2)拆去1m舊墻用所得的材料來建1m新墻的費用是建1m新墻費用的50%.
問如何利用舊墻才能使建墻的費用最低?
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知 一個邊長為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161402421190.gif)
的正方形
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161402437301.gif)
(1)如圖甲,以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161402452200.gif)
為圓心作半徑為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161402484134.gif)
的圓弧與正方形交于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161402499204.gif)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161402515200.gif)
兩點,在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161402546246.gif)
上有一動點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161402562202.gif)
,過
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161402562202.gif)
作
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161402608635.gif)
,求矩形
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161402624439.gif)
面積的最小值;
(2)如圖乙,在正方形
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161402437301.gif)
的基礎(chǔ)上再拼接兩個完全相同的正方形,求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161402718466.gif)
。
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231614027494114.gif)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162304335739.gif)
,正實數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162304350244.gif)
是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,且滿足
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162304397468.gif)
.若實數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162304413194.gif)
是方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162304444303.gif)
的一個解,那么下列四個判斷:①
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162304460238.gif)
;②
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162304475240.gif)
;③
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162304491231.gif)
;④
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162304522231.gif)
中有可能成立的個數(shù)為
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
若一系列函數(shù)的解析式相同,值域相同,但是定義域不同,則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”。那么解析式為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161740541371.gif)
,值域是{1,4}的
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/2014082316174058772.gif)
“同族函數(shù)”有
個。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
對于函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161605053433.gif)
,下列結(jié)論正確的是
。
①
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161605069682.gif)
②
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161605100820.gif)
有兩個不等的實數(shù)解;
③
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161605115946.gif)
在R上有三個零點;
④
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161605193925.gif)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
若函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161116920270.gif)
的值域是其定義域的子集,那么
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161116920270.gif)
叫做“集中函數(shù)”,則下列函數(shù):
①
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161116952703.gif)
, ②
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161116967359.gif)
③
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161117154618.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161117264615.gif)
, ④
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231611172791100.gif)
可以稱為“集中函數(shù)”的是
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知
x1是方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823160554312464.gif)
的根,
x2是方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823160554327448.gif)
的根,則
x1·
x2=
( )
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