Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若在內(nèi)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

（Ⅲ），求證：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ)當(dāng)時, 在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時, 在單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增;

當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時, 在單調(diào)遞減, 在,上單調(diào)遞增;

（Ⅱ）

（Ⅲ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)含有參數(shù)，故需要分情況討論.

（Ⅱ）思路一、一般地若任意使得，則;若任意使得，則.由得：恒成立，所以小于等于的最小值.

思路二、除外,是的一個極值點，故可首先考慮這個特殊值. 由得: ，這樣只需考慮時在內(nèi)是否恒成立.這是本題的特點，需要仔細(xì)觀察、分析.若發(fā)現(xiàn)其特點，則運算大大簡化.所以這個題有較好的區(qū)分度.

（Ⅲ）涉及數(shù)列求和的不等式的證明，一般有兩種類型，一種是先求和，后放縮；一種先放縮，后求和.

本題顯然屬于后者.

解答題中的最后一問，往往要用前面的結(jié)論，本題也不例外.由（Ⅱ）取可得：，由此可將不等式左邊各項放縮.

但是如果第一項也用這個結(jié)論來放縮，則得不到右邊的式子.這時就考慮從第二項開始，或從第三項開始用這個結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）

當(dāng)時, 在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時, 在單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增;

當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時, 在單調(diào)遞減, 在,上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）法一、由得：

令，則

令，則即

所以由得

所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.所以

從而

法二、由得:

又時, 在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

所以即:

所以若在內(nèi)恒成立，實數(shù)的取值范圍為.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知: 又時, 即(時取等號)

所以當(dāng)時:

又,所以

．

考點：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明.