Question

某次數學考試中有三道選做題，分別為選做題1、2、3．規(guī)定每位考生必須且只須在其中選做一題．甲、乙、丙三名考生選做這一題中任意一題的可能性均為

1

3

，每位學生對每題的選擇是相互獨立的，各學生的選擇相互之間沒有影響．
（1）求這三個人選做的是同一道題的概率：
（2）設ξ為三個人中做選做題l的人數，求ξ的分布列與均值．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：應用題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）設事件A₁表示三個人選做題1，A₂表示三個人選做題2，A₃表示三個人選做題3，則這三個人選做的是同一道題事件為A₁+A₂+A₃，根據互斥事件概率乘法公式，可得答案．
（2）ξ可能取值為0，1，2，3．結合甲、乙、丙三名考生選做這一題中任意一題的可能性均為

1

3

，可計算出ξ的分布列及數學期望．

解答： 解：（1）設事件A₁表示三個人選做題1，A₂表示三個人選做題2，A₃表示三個人選做題3，
則這三個人選做的是同一道題的概率為P（A₁+A₂+A₃）=3×

1

3

×

1

3

×

1

3

=

1

9

；
（2）ξ可能取值為0，1，2，3，且5名考生選做這三題的任意一題的可能性均為

1

3

，
∴P（ξ=k）=

C

k 3

•(

1

3

)k•(

2

3

)3-k，k=0，1，2，3，
∴分布列為

ξ	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

∴Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1．

點評：此題考查了離散型隨機變量的定義及其分布列，并且利用分布列求出期望，還考查了考慮問題時的嚴謹的邏輯思維及計算能力．